S'entraîner
Comprendre — fiches de méthode
Notion d'équation
Une équation est une égalité dans laquelle figure une ou plusieurs inconnues.
\(2x+4=5\) est une équation d'inconnue \(x\).
\(y^2+5=9\) est une équation d'inconnue \(y\).
C'est trouver la ou les valeurs (si elles existent) de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.
\(2x+4=0\) admet \(x=-2\) comme solution car \(2\times\textcolor{#1d4ed8}{(-2)}+4=0\).
Résoudre ax + b = c
Soit \(a\) un nombre non nul, et \(b\) et \(c\) deux nombres quelconques.
\(ax+b=c\)
\(ax+b\textcolor{#1d4ed8}{-b}=c\textcolor{#1d4ed8}{-b}\)
\(ax=c-b\)
\(\dfrac{ax}{\textcolor{#1d4ed8}{a}}=\dfrac{c-b}{\textcolor{#1d4ed8}{a}}\)
\(x=\dfrac{c-b}{a}\)
\(2x+3=11\)
\(2x+3-3=11-3\)
\(2x=8\)
\(\dfrac{2x}{2}=\dfrac{8}{2}\)
\(x=4\)
Résoudre ax + b = cx + d
Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des nombres, avec \(a\neq c\).
\(ax+b=cx+d\)
\(ax+b\textcolor{#1d4ed8}{-cx}=cx+d\textcolor{#1d4ed8}{-cx}\)
\(ax+b-cx=d\)
\(ax+b-cx\textcolor{#1d4ed8}{-b}=d\textcolor{#1d4ed8}{-b}\)
\(ax-cx=d-b\)
\((a-c)x=d-b\)
\(\dfrac{(a-c)x}{\textcolor{#1d4ed8}{a-c}}=\dfrac{d-b}{\textcolor{#1d4ed8}{a-c}}\)
\(x=\dfrac{d-b}{a-c}\)
\(3x+2=x+8\)
\(3x+2-x=x+8-x\)
\(2x+2=8\)
\(2x+2-2=8-2\)
\(2x=6\)
\(\dfrac{2x}{2}=\dfrac{6}{2}\)
\(x=3\)
Équation produit
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
\((3x-4)(2x+4)=0\)
Donc :
\(3x-4=0\)
\(3x=4\)
\(x=\dfrac{4}{3}\)
\(2x+4=0\)
\(2x=-4\)
\(x=-2\)
Donc \(S=\left\{-2\,;\,\dfrac{4}{3}\right\}\).
On doit parfois factoriser pour se ramener à un produit nul. Par exemple, pour résoudre \(5x-9x^2=0\), on peut factoriser par \(x\) :
\(x(5-9x)=0\)
On a donc deux solutions :
\(x=0\)
\(5-9x=0\)
\(5-9x-5=0-5\)
\(-9x=-5\)
\(\dfrac{-9x}{-9}=\dfrac{-5}{-9}\)
\(x=\dfrac{5}{9}\)
Donc \(S=\left\{0\,;\,\dfrac{5}{9}\right\}\).
Équation \(x^2=a\)
Soit \(a\) un nombre positif quelconque.
Résoudre \(x^2=a\) revient à résoudre \(x^2-a=0\).
Or \(x^2-a=x^2-(\sqrt{a})^2=(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})\) — identité remarquable \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\).
Les solutions de \(x^2=a\) sont donc celles de \((x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0\).
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Donc :
\(x-\sqrt{a}=0\)
\(x=\sqrt{a}\)
\(x+\sqrt{a}=0\)
\(x=-\sqrt{a}\)
Donc \(S=\left\{-\sqrt{a}\,;\,\sqrt{a}\right\}\).
\(x^2=9\) admet deux solutions : \(-\sqrt{9}=-3\) et \(\sqrt{9}=3\).
Donc \(S=\{-3\,;\,3\}\).
L'équation \(x^2=-8\) n'admet aucune solution réelle, car aucun nombre réel élevé au carré ne peut être négatif.